对线性模型中的均值μ的理解

假设我们有一组数据，大致可能是这样的（随机生成，请勿当真）：

在做分析的时候，我们一般会用到混合线性模型，该模型很可能是这样的：

y = μ + replicate + error

其中y是因变量，replicate是独立的自变量。另一种叫法是y是replicate的函数。我们最终需要根据replicate的值来预测y。这很好理解。

error是误差，服从正态分布，均值是0，标准差恒定。

在这个模型中，出现了一个均值μ，这个μ到底是做什么用的呢？

我们利用R来理解这个问题：

 
xxxxxxxxxx
# 建立矩阵
a <- c(rep(1:3,4),102,98,100,98,101,101,101,100,101,101,98,101)
m <- matrix(a, 12)
# 转换为数据框
m <- as.data.frame(m)
# 给数据的列命名
colnames(m)<- c("rep", "y")
# 输入模型
model <- lm(y ~ rep, m)
model

结果1：

Call: lm(formula = y ~ rep, data = m)

Coefficients: (Intercept) rep2 rep3
​ 100.50 -1.25 0.25

• Call里面显示的是我们输入的模型。
• Coefficients列出了截距以及其他因子距离截距的差。

我们看到，截距是100.5。在模型中，μ作为一个常数项，只可能影响截距，不会对斜率造成影响，那么这个截距是否就是均值μ呢？

我们计算一下均值：

 
xxxxxxxxxx
# 计算y的均值
mean(m$y)

结果2：

[1] 100.1667

很明显，截距并不等于均值μ，那么新的问题来了，这个截距100.5是怎么来的？

在结果1的Coefficients中，列名是这样的：(Intercept)，rep2，rep3。那么我们就可以推测(Intercept)=rep1，即rep=1的均值。再次用R进行验证：

 
xxxxxxxxxx
# 计算rep=1时，y的均值
mean(m$y[which(m$rep==1)])
# 顺便，计算rep=2时，y的均值（-1.25是相对值，在结果1中）
mean(m$y[which(m$rep==1)]) - 1.25
# rep=3时，y的均值（0.25是相对值，在结果1中）
mean(m$y[which(m$rep==1)]) + 0.25

结果3：

[1] 100.5

[1] 99.25

[1] 100.75

结果刚好等于100.5，说明截距就是rep1。

如果对以上数据作图，我们可以获得一条回归线：

 
xxxxxxxxxx
# 画散点图
plot(m$rep, m$y)
# 画回归线
abline(model)

结果4（图1）：

此图线如果还用原来的公式理解的话（y = μ + replicate + error），μ=0，ε=0，rep1=100.5，rep2=99.25，rep3=100.75。

我们将μ=100.2带入模型，则会得到μ=100.2，ε=0，rep1=100.5-100.2=0.3，rep2=99.25-100.2=-0.94，0.55。我们重新画图。

 
xxxxxxxxxx
# y-μ
m2 <- m
m2$y <- m2$y - 100.2
# 输入模型
model2 <- lm(y ~ rep, m2)
# 画散点图
plot(m2$rep, m2$y)
# 画回归线
abline(model2)

结果5（图2）：

对比结果4和结果5，不难发现，除了纵坐标不同，两张图片是完全一样的。因此，μ的作用也就有了答案：

μ的实际作用就是设定一个截距，当然这个截距不一定非要由μ来承担：截距可以任意指定，比如说y中的任意值，例如，R中的截距选择的是y的第一个因子的均值；SAS中选择的是y中的最后一个因子的均值，这样做的目的是使曲线接近测定值。而使用均值μ，则是最简化的公式，即曲线最接近0，此时计算起来速度更快，数据量越大体现的越明显。

对模型来说，截距并不十分重要，重要的是斜率，改变截距不会对斜率造成任何影响。